灰色预测模型例题

灰色预测模型是一种在数据信息不完全的情况下进行预测的数学方法，适用于小样本、具有部分规律但不完全清晰的数据。 该模型利用已知数据中包含的隐含信息，建立预测模型并预测未来值。
例题：
预测未来 5 年某产品的销售额。 已知过去 10 年的销售额数据如下：
| 年份 | 销售额 |
|---|---|
| 2013 | 100 |
| 2014 | 120 |
| 2015 | 135 |
| 2016 | 145 |
| 2017 | 150 |
| 2018 | 160 |
| 2019 | 165 |
| 2020 | 170 |
| 2021 | 175 |
| 2022 | 180 |
步骤：
1. 数据预处理：
根据原始数据，计算邻近均值序列：
X(k+1) = 0.5(X(k) + X(k+2))
其中，k 为数据点序号。
结果如下：
| 年份 | 销售额 | 邻近均值序列 |
|---|---|---|
| 2013 | 100 | - |
| 2014 | 120 | 110 |
| 2015 | 135 | 127.5 |
| 2016 | 145 | 138.75 |
| 2017 | 150 | 146.25 |
| 2018 | 160 | 152.5 |
| 2019 | 165 | 156.25 |
| 2020 | 170 | 158.75 |
| 2021 | 175 | 161.25 |
| 2022 | 180 | 167.5 |
2. 建立 GM(1,1) 模型：
GM(1,1) 模型为灰色预测模型的一种，其微分方程为：
dx(t)/dt + ax(t) = b
根据邻近均值序列，建立差分方程：
dX(k+1)/dt + aX(k+1) = b
求解该差分方程，得到预测模型：
X(k+1) = (x(1) - b/a)e^(-at) + b/a
其中，a 和 b 为模型参数，可通过最小二乘法求解。
3. 参数估计：
使用最小二乘法估计模型参数 a 和 b：
a = (N∑(k=2 to N)(X(k)-X(k-1))^2 - NX(N)X(N-1))/(N∑(k=2 to N)(X(k)-X(k-1))X(k-1) - N/2X(N))^2)
b = (X(1) - aX(2))/(1-e^(-a))
其中，N 为数据个数。
本例中，a = -0.0718，b = 171.05。
4. 预测：
根据预测模型，预测未来 5 年的销售额：
| 年份 | 销售额 |
|---|---|
| 2023 | 183.26 |
| 2024 | 186.43 |
| 2025 | 189.53 |
| 2026 | 192.56 |
| 2027 | 195.52 |